Stehende Wellen akustische Resonanz Saite Raummoden Schalldruck Schalldruckpegel Moden bei schallharten parallelen Wänden Schwingungsknoten Knoten Bauch Reflexion Reflektion Welle Monochord Raumeigenmoden

1. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei idealen Saiten

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Eine stehende Welle ist der Schwingungszustand eines zusammenhängenden Systems. Als Musterbeispiel wird dafür üblicherweise die schwingende Saite eines Musikinstruments oder die Luftsäule in einer Orgelpfeife genommen. Diese Wellen haben zwar ein wellenartiges Aussehen, bewegen sich aber nirgendwohin; d.h. sie schwingen zeitlich aber nicht örtlich − sie sind ortsfest.
Die Saite ist mit einer Länge L zwischen zwei festen Enden eingespannt, an denen sich immer ein Schwingungsknoten befindet. Zwischen diesen zwei Knoten (Nulldurchgang) ergibt sich ein Maximum, das auch Schwingungsbauch oder Wellenbauch genannt wird. Dargestellt sind hier die
Eigenschwingungen einer idealisierten Saite, die als perfekt gleichmäßig und vollständig biegsam angenommen werden, d. h., sie setzen einer Biegung keinerlei Schwingungswiderstand entgegen.
Es wird keinerlei Dämpfung durch innere Reibung angenommen, wobei die Steifigkeit Null ist.
Die Frequenzen der Eigenschwingungen bilden eine harmonische Teiltonreihe. Diese Teiltöne werden auch Harmonische oder Partialtöne genannt. L = Länge der Saite,
c = Schallgeschwindigkeit. Die 1. Harmonische ist die Grundwelle.

1. Harm. L = λ/2 = π f₁ = c / (2·L)

2. Harm. L = λ f₂ = 2·f₁ = c / L

3. Harm. L = 3 λ / 2 f₃ = 3·f₁ = 3·c/ (2·L)

4. Harm. L = 2 λ f₄ = 4·f₁ = 4·c / (2·L)

Merke: Der Abstand zwischen zwei Knoten (nodes) oder zwei Bäuchen (antinodes) ist λ/2. Der Abstand zwischen einem Knoten (Nulldurchgang) und einem Bauch (Maximum) ist λ/4.

2. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei Rohren (Flöten)

1. Harm.   L = λ / 2 = π      f₁ = c / (2 · L)

2. Harm.   L = λ                  f₂ = 2 · f₁ = c / L

3. Harm.   L = 3 λ / 2          f₃ = 3 · f₁ = 3 c / (2 · L)

Offenes Rohr

Eigenschwingungen einer Luftsäule in einer offenen Röhre (Flöte).
Am offenen Ende muss theoretisch jeweils ein Schalldruckknoten liegen, wenn man die Endkorrektur außer Acht lässt.

Begründung: Am Rohrende wird die Druckwellewegen des unendlichen Querschnittssprungs des Rohrs nahezu vollständig reflektiert (schallweicher Rohrabschluss und 180°-Phasendrehung der reflektierten Welle).
Dabei ist der Schalldruck gleich Null (Druckknoten), weil die Impedanz am Rohrende gleich Null ist (kein Widerstand, aber Reflexion).

1. Harm.   L = λ / 4 = π · 1 / 4     f₁ = c / (4 · L)

3. Harm.   L = 3 λ / 4                   f₃ = 3 · f₁ = 3 c / (4 · L)

5. Harm.   L = 5 λ / 4                   f₅ = 5 · f₁ = 5 c / (4 · L)

Links einseitig geschlossenes Rohr

Eigenschwingungen einer Luftsäule in einer einseitig geschlossenen Röhre (Flöte); auch gedackte Pfeife. Am geschlossenen Ende muss theoretisch jeweils ein Maximum (Schalldruckbauch) liegen.

Es gibt Missverständnisse bei Wellen in der Luft, weil sinusförmigen Signale die Knoten und die Bäuche der Schallauslenkung, der Partikelgeschwindigkeit des Schalls, vom Schalldruck oder von der Schalldichte sein können. Tontechniker mit Mikrofonen sind allein am Verhalten des Schalldrucks in der Luft interessiert.
Beispielsweise entspricht ein Schalldruck-Knoten einem Schallschnelle-Bauch!

3. Stehende Wellen (Raummoden) bei schallharten parallelen Wänden

Wo stelle ich meine Lautsprecher hin? Wo ist der beste Abhörplatz? Wohin mit der akustischen Dämpfung?
Folgende Grundlagen zur Akustik der Schallwellen bei tiefen Frequenzen in Räumen sollte man dazu kennen.
Das gilt für den Aufnahmeraum genauso wie für den Wiedergaberaum = Regieraum oder das Wohnzimmer.

Die Raumresonanzen, die sich zwischen den Begrenzungsflächen eines Raumes bilden, nennt man "stehende Wellen" oder Raumeigenmoden, auch kurz Moden. Sie entstehen, wenn ein Vielfaches der halben Wellenlänge (λ/2) zwischen die Begrenzungsflächen eines Raums passt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle.
Uns Tontechniker interessiert das Verhalten des Schalldrucks, weil durch seine Wirkung unsere Trommelfelle und die Mikrofonmembranen bewegt werden; siehe:
Die Wirkung und die Ursache.
Raummoden sind nichts anderes als stehende Wellen, die sich in jedem Raum bei tiefen Frequenzen ausbilden. Nicht-parallele Wände sind kein Mittel dagegen.

Eine stehende Welle als Schalldruckverteilung; hier:
3. Harmonische (2. Oberschwingung) − 3 Knoten und 4 Bäuche

Raummoden (Eigenschwingungen) als Schalldruckverteilung

Der Fachbegriff heißt eine Mode, also die Mode und der Plural sind mehrere Moden. Vergiss also Modus und Modi.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Rechteck-Räumen

Merke: Praktisch sind Raummoden nur als tiefe Schalldruck-Frequenzen
unterhalb von 300 Hz störend hörbar. Höhere modale Frequenzen verlieren
an Bedeutung, denn ihre Störwirkung wird durch andere raumakustische
Effekte überdeckt, weil die modale Dichte so hoch wird, dass keine selektive
Modenhäufungen mehr auftreten, die sich als störende Klangfärbung
bemerkbar machen.
An harten Wänden bilden sich bei den Moden immer Schalldruckmaxima aus -
das sind Wellenbäuche (bzw. Schallschnelle-Minima.) - "Lose Enden".

Mit folgender Formel lassen sich stehende Wellen, also Raumresonanzen (Moden),
die zwischen den schallharten Begrenzungsflächen eines Rechteck-Raums (genauer:
quaderförmig) entstehen, in ihrer Frequenz bestimmen.
$f = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{n_x}{L}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{B}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{H}\right)^2}$ Hierbei ist:
f = Frequenz der Mode in Hz
c = Schallgeschwindigkeit 343 m/s bei 20 °C
n_x = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumlänge) (1, 2, 3, ...)
n_y = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumbreite) (1, 2, 3, ...)
n_z = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumhöhe) (1, 2, 3, ...)
L, B, H = Länge, Breite und Höhe des Raums in Meter

An einer schallharten reflektierenden Wand (Grenzfläche) ist der Schallabsorptionsgrad
α = 0
Eine stehende Welle 1. Ordnung mit der Grundschwingung = f₁ entsteht, wenn die halbe
Wellenlänge der Erregerschwingung genau in den Abstand der harten Begrenzungs-
flächen passt. Für die axiale Mode gilt dabei als tiefste Frequenz:
f₁ = c / (2 · L) Hierbei ist:
c = Schallgeschwindigkeit (343 m/s bei 20 °C)
f₁ = Grundfrequenz der axialen Mode in Hz
L = maximaler Abstand der Begrenzungsflächen in Meter.

Die stehenden Wellen höherer Ordnung berechnen sich aus den ganzzahligen Vielfachen der Mode 1. Ordnung.
f₂ = 2 · f₁
f₃ = 3 · f₁
f₄ = 4 · f₁

Bäuche
Druckmaximum Knoten
Nulldurchgang Wellenlänge Frequenz Harmonische Oberschwingungen

2 1 λ = 2 · L f₁ = 1 · c / (2 · L) 1. Harmonische Grundschwingung

3 2 λ = L f₁ = 2 · c / (2 · L) 2. Harmonische 1. Oberschwingung

4 3 λ = 2 / (3 · L) f₁ = 3 · c / (2 · L) 3. Harmonische 2. Oberschwingung

k + 1 k λ = 2 / (k · L) f₁ = k · c / (2 · L) k. Harmonische (k − 1). Oberschwingung

k =1, 2, 3, ...

Der Schallwechseldruck ist in Wirklichkeit eine Longitudinalwelle a), im Gegensatz zur hier besser darstellbaren Transversalwelle b).

Stehenden Wellen als Schalldruckverteilung zwischen den Wänden. Eine Welle mit offenen Enden.

1. Harm.   L = λ/2 = π        f₁ = c / (2·L)
2. Harm.   L = λ        f₂ = 2·f₁ = c / L

3. Harm.   L = 3 λ / 2      f₃ = 3·f₁ = 3·c / (2·L)
4. Harm.   L = 2 λ        f₄ =4·f₁ = 4·c / (2·L)

Hier wird der Schallwechseldruck einer Sinusschwingung und ihren Harmonischen zwischen zwei total schallreflektierenden, d. h. schallharten Wänden dargestellt.
Wichtig ist, dass sich im Resonanzfall an den Wänden immer ein Schalldruckmaximum (Schalldruckbauch) befindet.
In vielen Darstellungen wird hierbei unrichtig die Abbildung der Saitenschwingung verwendet, die an jedem Ende immer einen festen Knoten hat, wie z. B. hier:

Das sind nicht Darstellungen
von Schalldruckschwingungen
zwischen zwei Wänden in
einem kleinen Raum ...
... sondern das sind Saiten-
schwingungen. Eine typische
Falschdarstellung.

Die Darstellung der
Schallschnelle ist
nicht gewünscht.

Eine Saite ist zwischen zwei "festen Enden" eingespannt. An den Enden erscheint ein Wellenknoten.
Eine Welle zwischen zwei harten Wänden wird beim Schalldruck mit "losen Enden" betrachtet.
Daher erscheint als Schalldruck an den Wandseiten ein Wellenmaximum bzw. ein Wellenbauch.

Siehe hierzu unrichtig: Stehende Welle - Wikipedia und Raummode - Wikipedia
Hier ist es richtig: From Wikibooks, the open-content textbooks collection

Räumliche Verteilung vonSchalldruckbetrag p (rot) und Schallschnelle v (blau) bei einer stehenden Welle als totale Reflexion an einer schallharten Wand (schematisiert).
Im Abstand von λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = 0.
Da die Absorptionswirkung in einem Material proportional zur Schallschnelle ansteigt, sollte sich der Absorber wirkungsvoll im Schnelle-Maximum d/4 als Wandabstand befinden oder sollte eine entsprechende Dicke haben. Viel einfacher als das Schnellemaximum ist das Schalldruck-Minimum messbar, das genau an der Stelle des Schnelle-Maximums bei λ/4 liegt.

Hier ist eine schöne Animation einer stehenden Welle - Erklärung durch Überlagerung der hinlaufenden mit der reflektierten Welle. Dazu muss man einstellen: "Reflexion am losen Ende".
http://www.walter-fendt.de/ph14d/stwellerefl.htm

Die rote Welle ist die einfallende Schallwelle, die grüne ist die zurückreflektierte Schallwelle. Die blaue ist die stehende Welle, die sich durch die Überlagerung beider Wellen ergibt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle, jedoch sind stehende Wellen im Allgemeinen keine Raummoden. Diese beiden Begriffe werden üblicherweise nicht ganz korrekt als gleichbedeutend dargestellt.

Fazit:
Die Schwingungen des Schalldrucks zwischen parallelen harten Wänden - also stehenden Wellen bzw. Raummoden - sehen anders ausals die Schwingungen von Saiten. Während die Schwingung im ersten Fall "lose Enden" (Wellenbäuche) aufweist, hat sie im Falle der Saite "feste Enden" (Wellenknoten).

Merke:
An reflektierenden Wänden (Grenzflächen) finden wir dabei immer den maximalen Schalldruck, also einen Wellenbauch. Das ist auch das Prinzip der Grenzflächenmikrofone.

Zwei verschiedene Grenzflächenmikrofon-Bauarten

Untere Grenzfrequenz beim Grenzflächenmikrofon

Stehende Wellen auch bei offenen und gedackten Orgelpfeifen

Forum uni-protokolle.de: "Raummoden bei Wikipedia falsch gezeichnet"

Gegenüberstellung der Reflexionen im Hallraum
und einem extrem stark gedämpften Raum

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallharten Wänden, wie in einem Hallraum.

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallweichen Wänden, wie in einem reflexionsarmen Raum.

Räumliche Verteilung von Schalldruck p (rot) und Schallschnelle v (blau) in einer stehenden Welle bei totaler Reflexion an einer schallweichen Wand (schematisiert).
Im Abstand von λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = max.

Ein typischer Raum (Regieraum) mit Axial-Moden und Schalldruckbäuchen an den Wänden

Rechner für die Raumeigenmoden − Jörg Hunecke
Für rechteckige Räume ermittelt dieser Rechner die Raumeigenmoden mit den 20 niedrigsten Eigenfrequenzen und stellt sie in aufsteigender Reihenfolge dar.

Was sind Raummoden? - Richtig dargestellt − Trikustik ®

Das Bild links zeigt dort die Schwingungen einer Saite mit außen liegenden Knoten.
Das Bild rechts zeigt dort die tatsächliche Schalldruckverteilung an den Wänden.

Dieses ist nur für 2D definiert, was üblicherweise genügt. Unter bestimmten
Annahmen und Rundungen lassen sich ähnliche Aussagen jedoch auch für 3D treffen.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Räumen

Der Druckkammer-Effekt

Auch unterhalb der tiefstmöglichen Raummode sind tieffrequente Töne wiederzugeben.
Man nutzt den Druckkammereffekt bei kleinen mit schallharten Begrenzungsflächen ausgestatteten Räumen, wobei der Raum druckdicht verschlossen sein muss.
Siehe: Grundlagen der Raumakustik. Die "dB Drag Racing" Fans brauchen das für ihre Lautstärke-Wettbewerbe im Auto.

RPG Triffusor

Absorption - Reflexion - Diffusität - Kombination

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Bäuche Druckmaximum	Knoten Nulldurchgang	Wellenlänge	Frequenz	Harmonische	Oberschwingungen
2	1	λ = 2 · L	f₁ = 1 · c / (2 · L)	1. Harmonische	Grundschwingung

3	2	λ = L	f₁ = 2 · c / (2 · L)	2. Harmonische	1. Oberschwingung

4	3	λ = 2 / (3 · L)	f₁ = 3 · c / (2 · L)	3. Harmonische	2. Oberschwingung

k + 1	k	λ = 2 / (k · L)	f₁ = k · c / (2 · L)	k. Harmonische	(k − 1). Oberschwingung