Stehende Wellen akustische Resonanz Saite Raummoden Schalldruck Schalldruckpegel Moden bei schallharten parallelen Wänden Knoten Bäuchen Reflexion Reflektion Welle Monochord Raumeigenmoden

1. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei idealen Saiten

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Eine stehende Welle ist der Schwingungszustand eines zusammenhängenden Systems. Als
Musterbeispiel wird dafür üblicherweise die schwingende Saite eines Musikinstruments oder die
Luftsäule in einer Orgelpfeife genommen. Diese Wellen haben zwar ein wellenartiges Aussehen,
bewegen sich aber nirgendwohin. Die Saite ist mit einer Länge L zwischen zwei festen Enden
eingespannt, an denen sich immer ein Schwingungsknoten befindet. Zwischen diesen zwei
Knoten (Minima) ergibt sich immer ein Schwingungsbauch (Maximum), auch Wellenbauch genannt.
Dargestellt sind die Eigenschwingungen einer idealisierten Saite, die als perfekt gleichmäßig
und vollständig biegsam angenommen wird, d. h., sie setzt einer Biegung keinerlei Schwingungs-
widerstand entgegen. Die Steifigkeit wird mit Null angenommen. Die Frequenzen der Eigen-
schwingungen bilden eine harmonische Teiltonreihe. Diese Teiltöne werden auch Harmonische
oder Partialtöne genannt. c = Schallgeschwindigkeit bei 20°C. L = π bei der Grundwelle.

1. Harm. L = λ/2 = π f₁ = c / (2·L)

2. Harm. L = λ f₂ = 2·f₁ = c / L

3. Harm. L = 3 λ / 2 f₃ = 3·f₁ = 3·c/ (2·L)

4. Harm. L = 2 λ f₄ = 4·f₁ = 4·c / (2·L)

Merke: Der Abstand zwischen zwei Knoten (nodes) oder zwei Bäuchen
(antinodes) ist λ/2. Der Abstand zwischen einem Knoten (Minimum) und
einem Bauch (Maximum) ist λ/4.

Eine Saite ist zwischen zwei "festen Enden" eingespannt. An den Enden erscheint ein Wellenknoten.
Eine Welle zwischen zwei harten Wänden wird beim Schalldruck mit "losen Enden" betrachtet. An
den Enden erscheint ein Wellenmaximum bzw. ein Wellenbauch.

2. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei Rohren (Flöten)

1. Harm.   L = λ / 2 = π      f₁ = c / (2 · L)

2. Harm.   L = λ                  f₂ = 2 · f₁ = c / L

3. Harm.   L = 3 λ / 2          f₃ = 3 · f₁ = 3 c / (2 · L)

Offenes Rohr

Eigenschwingungen einer Luftsäule in einer offenen Röhre (Flöte)
Am offenen Ende muss theoretisch jeweils ein Schalldruckknoten liegen,
wenn man die Endkorrektur außer acht lässt.

1. Harm.   L = λ / 4 = π · 1 / 4     f₁ = c / (4 · L)

3. Harm.   L = 3 λ / 4                   f₂ = 3 · f₁ = 3 c / (4 · L)

5. Harm.   L = 5 λ / 4                   f₃ = 5 · f₁ = 5 c / (4 · L)

Links einseitig geschlossenes Rohr

Eigenschwingungen einer Luftsäule in einer einseitig geschlossenen Röhre (Flöte);
auch gedackte Pfeife. Am geschlossenen Ende muss theoretisch jeweils ein
Schalldruckbauch liegen.

3. Stehende Wellen (Raummoden) bei schallharten parallelen Wänden

Wo stelle ich meine Lautsprecher hin? Wo ist der beste Abhörplatz? Wohin mit der akustischen Dämpfung?
Folgende Grundlagen zur Akustik der Schallwellen bei tiefen Frequenzen in Räumen sollte man dazu kennen.
Das gilt für den Aufnahmeraum genauso wie für den Wiedergaberaum = Regieraum oder Wohnzimmer.

Die Raumresonanzen die sich zwischen den Begrenzungsflächen eines Raumes bilden,
nennt man "stehende Wellen" oder Raummoden, auch kurz Moden. Sie entstehen,
wenn ein Vielfaches der halben Wellenlänge (λ/2) zwischen die Begrenzungsflächen
eines Raums passt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle.
Dafür braucht man nicht unbedingt parallele Wände. Uns Tontechniker interessiert das
Verhalten des Schalldrucks, weil durch seine Wirkung unsere Trommelfelle und die
Mikrofonmembranen bewegt werden; siehe: Wirkung und Ursache.

Eine stehende Welle als Schalldruckverteilung; hier:
3. Harmonische (2. Oberschwingung) − 3 Knoten und 4 Bäuche

Raummoden (Eigenschwingungen) als Schalldruckverteilung

Der Fachbegriff heißt eine Mode, also die Mode und der Plural sind mehrere Moden. Vergiss also Modus und Modi.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Rechteck-Räumen

Merke: Praktisch sind nur tiefe Frequenzen als Schalldruck unterhalb von
300 Hz als Raummoden zu betrachten. Höhere modale Frequenzen verlieren
an Bedeutung, denn ihre Störwirkung wird durch andere raumakustische
Effekte überdeckt.

An den Wänden bilden sich bei den Moden immer Schalldruckmaxima aus -
das sind Wellenbäuche (bzw. Schallschnelle-Minima.) - "Lose Enden".

Durch folgende Formel sind stehende Wellen, also Raumresonanzen (Moden), die zwischen
den schallharten Begrenzungsflächen eines Rechteck-Raums entstehen, in ihrer Frequenz zu
bestimmen. An einer schallharten reflektierenden Wand (Grenzfläche) ist der Schall-
absorptionsgrad α = 0

$f = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{n_x}{L}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{B}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{H}\right)^2}$
Hierbei ist:
f = Frequenz der Mode in Hz
c = Schallgeschwindigkeit 343 m/s bei 20 °C
n_x = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumlänge) (1, 2, 3, ...)
n_y = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumbreite) (1, 2, 3, ...)
n_z = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumhöhe) (1, 2, 3, ...)
L, B, H = Länge, Breite und Höhe des Raums in Meter

Eine stehende Welle 1. Ordnung bei der Grundschwingung = f₁ entsteht, wenn die halbe
Wellenlänge der Erregerfrequenz genau zwischen die harten Begrenzungsflächen passt.
Für die axiale Mode gilt dabei als tiefste Frequenz:
f₁ = c / (2 · L) Hierbei ist:
c = Schallgeschwindigkeit 343 m/s bei 20 °C
f₁ = Frequenz der axialen Mode in Hz
L = größter Abstand der Begrenzungsflächen in m.

Die stehenden Wellen höherer Ordnung berechnen sich aus den ganzzahligen Vielfachen
der Mode 1. Ordnung.
f₂ = 2 · f₁
f₃ = 3 · f₁
f₄ = 4 · f₁

Bäuche
Druckmaximum Knoten
Druckminimum Wellenlänge Frequenz Harmonische Oberschwingungen

2 1 λ = 2 · L f₁ = 1 · c / (2 · L) 1. Harmonische Grundschwingung

3 2 λ = L f₁ = 2 · c / (2 · L) 2. Harmonische 1. Oberschwingung

4 3 λ = 2 / (3 · L) f₁ = 3 · c / (2 · L) 3. Harmonische 2. Oberschwingung

k + 1 k λ = 2 / (k · L) f₁ = k · c / (2 · L) k. Harmonische (k − 1). Oberschwingung

k =1, 2, 3, ...

Der Schallwechseldruck ist in Wirklichkeit eine Longitudinalwelle a),
im Gegensatz zur hier besser darstellbaren Transversalwelle b).

Moden von stehenden Wellen als Schalldruckverteilung
zwischen den Wänden. Eine Welle mit offenen Enden.

1. Harm.   L = λ/2 = π        f₁ = c / (2·L)
2. Harm.   L = λ        f₂ = 2·f₁ = c / L

3. Harm.   L = 3 λ / 2      f₃ = 3·f₁ = 3·c / (2·L)
4. Harm.   L = 2 λ        f₄ =4·f₁ = 4·c / (2·L)

Hier wird der Schallwechseldruck einer Sinusschwingung mit den Harmonischen
zwischen zwei total schallreflektierenden, d. h. schallharten Wänden dargestellt,
die in Wirklichkeit eine Longitudinalwelle ist. Wichtig ist, dass sich im Resonanzfall
an den Wänden immer ein Schalldruckmaximum (Schalldruckbauch) befindet.
In vielen Darstellungen wird hierbei unrichtig die Abbildung der Saitenschwingung
verwendet, die an jedem Ende immer einen festen Knoten hat, wie z. B. hier:

Das ist nicht die Darstellung
von Schalldruckschwingungen
zwischen zwei Wänden in
einem kleinen Raum.

Das sind Saitenschwingungen. Eine typische
Falschdarstellung.

Die Darstellung der
Schallschnelle ist
nicht gewünscht.

Siehe hierzu unrichtig: Stehende Welle - Wikipedia und Moden - Wikipedia
Hier ist es richtig: From Wikibooks, the open-content textbooks collection

Räumliche Verteilung von Schalldruck p (rot) und Schallschnelle v (blau) in einer
stehenden Welle bei totaler Reflexion an einer schallharten Wand (schematisiert).
Im Abstand von λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = 0.

Hier ist eine schöne Animation einer stehenden Welle - Erklärung durch
Überlagerung mit der reflektierten Welle. Dazu muss man einstellen:
"Reflexion am losen Ende".
http://www.walter-fendt.de/ph14d/stwellerefl.htm

Die rote Welle ist die einfallende Schallwelle, die grüne ist die zurückreflektierte
Schallwelle. Die blaue ist die stehende Welle, die sich durch die Überlagerung
beider Wellen ergibt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle,
jedoch sind stehende Wellen im Allgemeinen keine Raummoden. Diese beiden
Begriffe werden oft nicht ganz korrekt als gleichbedeutend dargestellt.

Fazit:
Die Schwingungen des Schalldrucks zwischen
parallelen Wänden sehen bei stehenden Wellen als
Moden zwischen den Wänden als "lose Enden"
(Wellenbäuche) anders aus, als die Schwingungen
von Saiten zwischen den "festen Enden" (Wellenknoten).

Merke:
An reflektierenden Wänden (Grenzflächen) finden wir
dabei immer den maximalen Schalldruck, also einen
Wellenbauch. Das ist auch das Prinzip der
Grenzflächenmikrofone.

Zwei verschiedene Grenzflächenmikrofon-Bauarten

Untere Grenzfrequenz beim Grenzflächenmikrofon

Stehende Wellen auch bei offenen und gedackten Orgelpfeifen

Forum uni-protokolle.de: "Raummoden bei Wikipedia falsch gezeichnet"

Die Frequenz bei der die erste (tiefste) Raummode eintritt, wird mit folgender Formel
berechnet: Frequenz = Schallgeschwindigkeit c / (längste Raumabmessung · 2)

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallharten Wänden, wie in einem Hallraum.

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallweichen Wänden, wie in einem reflexionsarmen Raum.

Räumliche Verteilung von Schalldruck p (rot) und Schallschnelle v (blau) in einer
stehenden Welle bei totaler Reflexion an einer schallweichen Wand (schematisiert).
Im Abstand von λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = max.

Ein typischer Raum (Regieraum) mit Axial-Moden und Schalldruckbäuchen an den Wänden

Rechner für die Raumeigenmoden − Jörg Hunecke
Für rechteckige Räume ermittelt dieser Rechner die Raumeigenmoden mit den
20 niedrigsten Eigenfrequenzen und stellt sie in aufsteigender Reihenfolge dar.

Was sind Raummoden? - Richtig dargestellt − Trikustik ®

Das Bild links zeigt dort die Schwingungen einer Saite mit außen liegenden Knoten.
Das Bild rechts zeigt dort die tatsächliche Schalldruckverteilung an den Wänden.

Dieses ist nur für 2D definiert, was üblicherweise genügt. Unter bestimmten
Annahmen und Rundungen lassen sich ähnliche Aussagen jedoch auch für 3D treffen.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Rechteck-Räumen

Der Druckkammer-Effekt

Auch unterhalb der tiefstmöglichen Raummode sind tieffrequente Töne wiederzugeben.
Man nutzt den Druckkammereffekt bei kleinen mit schallharten Begrenzungsflächen
ausgestatteten Räumen, wobei der Raum druckdicht verschlossen sein muss.
Siehe: Grundlagen der Raumakustik. Die "dB Drag Racing" Fans brauchen das für
ihre Lautstärke-Wettbewerbe im Auto.

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Bäuche Druckmaximum	Knoten Druckminimum	Wellenlänge	Frequenz	Harmonische	Oberschwingungen
2	1	λ = 2 · L	f₁ = 1 · c / (2 · L)	1. Harmonische	Grundschwingung

3	2	λ = L	f₁ = 2 · c / (2 · L)	2. Harmonische	1. Oberschwingung

4	3	λ = 2 / (3 · L)	f₁ = 3 · c / (2 · L)	3. Harmonische	2. Oberschwingung

k + 1	k	λ = 2 / (k · L)	f₁ = k · c / (2 · L)	k. Harmonische	(k − 1). Oberschwingung